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  • Théorème de Weierstrass (approximation par des polynômes)

    Formulaire de report


    Théorèmes


    Approximation par des polynômes

    Théorème de Weierstrass d'approximation par des polynômes :
    • soit \(f:[a,b]\to{\Bbb C}\)
    • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
    • \(\varepsilon\gt 0\)

    $$\Huge\iff$$
    • il existe un polynôme \(P\) tel que : $$\forall x\in[a,b],\quad \lvert f(x)-P(x)\rvert\lt \varepsilon$$
    Exemple de tels polynômes : Polynômes de Bernstein

    Approximation par des polynômes périodiques

    Théorème de Weierstrass d'approximation par des polynômes périodiques :
    • soit \(f:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\)
    • \(f\) est continue
    • \(f\) est \(2\pi\)-périodique

    $$\Huge\iff$$
    • \(f\) est limite uniforme sur \({\Bbb R}\) d'une suite de Polynôme trigonométriques

    Exercices

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Comment construire de façon simple une fonction paire \(\tilde f\) à partir d'une fonction quelconque \(f\) ?
    Verso: On utilise la moyenne entre \(f(\lvert x\rvert)\) et \(f(-\lvert x\rvert)\) : $$\tilde f:x\mapsto\frac{f(x)+f(-x)}2$$
    Bonus:
    END
    Théorème de Weierstrass avec des polynômes pairs Soit \(f\in\mathcal C([0,1],{\Bbb R})\). Montrer que \(f\) est limite uniforme de polynômes pairs.

    Prolongement par parité.
    On prolonge \(f\) par parité sur \([-1,1]\) en posant \(f(x)=-x\) pour \(x\lt 0\). Ce prolongement est bien continu sur \([-1,1]\).

    Théorème de Weierstrass
    D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite \((Q_n)_n\) de polynômes qui converge uniformément vers \(f\)

    Rendre cette suite de polynômes pairs.
    On rend cette suite de polynômes pairs en posant : $$P_n(x)=\frac{Q_n(x)+Q_n(-x)}2$$

    Vérifier que \((P)_n\) converge uniformément.

    On vérifie que \((P_n)_n\) converge bien uniformément vers \(f\) sur \([0,1]\) en utilisant la convergence uniforme de \((Q_n)_n\) vers \(f\) et la formule : $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

    Faire \(i.\)

    L'inégalité entre les fonctions intégrées vient de la convexité de la première fonction en \(0\) (via la tangente à la courbe).

    L'inégalité vient alors naturellement, puisque le domaine d'intégration du majorant est le plus grand.


    Faire \(ii.\)

    L'intégrale de la majoration est plus facile à calculer.

    On a donc une inégalité pour \(\frac1{c_n}\), et donc pour \(c_n\).


    Faire \(i.\)


    \(Q_n\) coïncide avec une fonction polynomiale sur le domaine voulu.

    On peut utiliser cela dans le calcul de la convolution.

    On trouve bien un résultat sous forme polynomiale, après avoir utilise la Formule du binôme de Newton.


    Faire \(ii.\)


    Il suffit pour cela de montrer que \(Q_n\) est une Approximation de l'identité.





    On doit poser un "rescaling" affine pour pouvoir se remettre dans le cas de la question précédente.

    La question précédente permet alors de conclure.


  • Rétroliens :
    • Théorème de Stone-Weierstrass